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反射係数とは?~スミスチャートとの関係~(その2)

みなさん こんにちは。テクノシェルパ技術コンサルタントの河野です。

前回 反射係数についてブログで紹介させていただきました。
今回はその反射係数とスミスチャートとの関係について紹介させていただきます。

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前回のブログで反射係数Γと伝送線路の特性インピーダンスZ0と負荷インピーダンスZLの関係は次式であることを説明しました。

 

 

これを正規化インピーダンスz = ZL / Z0で書き直すとΓ = (z – 1) / (z + 1) となります。

正規化された負荷インピーダンス(z = r + jx Ω)と反射係数Γ = Γr + jΓi の関係は以下のとおりです。

 

 

ここで、実部、虚部それぞれ等しいので、次の2つの式が導出されます。

 

 

ここで(1)式を整理すると次式となり、rをパラタメータとした円の方程式となります。

 

 

この(3)式において代表的なrと円の中心/半径の関係は以下の表になります。

 

 

これらをグラフにすると図1となります。

 

 

どこかで見たことのあるグラフになりました。そうです。このrをパラタメータとした円がスミスチャートの等抵抗円なのです。

次に(2)式を整理すると次式となり、xをパラメータとした円の方程式となります。

 

 

この(4)式において代表的なxと円の中心/半径の関係は以下の表になります。

 

 

これらをグラフにすると図2となります。

 

 

反射係数|Γ|≦1なので、実際のグラフとしては、中心(0, 0)、半径1の円の内側のみ(赤線領域)となります。

これらxをパラメータとした円が、スミスチャートの等リアクタンス円となります。

 

こうして、図1と図2を合体させることでスミスチャートが完成します。
このようにインピーダンスと反射係数をスミスチャートで図示することが可能となるのです。

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